Álgebra de pedrinhas

“Cálculo” é uma palavra derivada do latim, e significa “pedra”. É por isso que “cálculo renal” significa pedra nos rins.

Para mim, a matemática deveria se basear o máximo possível nas suas noções mais básicas, pedrinhas e formas geométricas.

Este texto redefine as operações básicas da matemática em uma nova álgebra, a álgebra de pedrinhas.

Começa da noção de que cada número tem um equivalente em pedras.

E a soma é simplesmente a adição de pedrinhas:

A subtração é a diferença de pedras.

E no caso de números negativos? É como se fosse um empréstimo, uma pessoa devendo as pedrinhas para outras.

A multiplicação é uma soma de soma. 4 vezes 3 significa o número 4 somado três vezes seguidas. Isto forma um retângulo:

Há outra forma de visualizar a multiplicação, que vai ser muito útil em alguns exercícios futuros. Imaginar primeiro as 4 bolinhas, aumentar o raio das bolinhas, inserir 3 bolinhas em cada bola maior, e apagar a bola maior.

Finalmente, a divisão. A noção básica é que a divisão é o contrário da multiplicação. Digamos, 13 / 4 significa que 13 bolinhas devem ser colocadas em forma de retângulo, onde a base é de 4 bolinhas:

Note que sobra uma pedra. 13 /4 = 3, restando 1 pedra.

Em termos de fração, fica um pouco difícil visualizar pedaços das pedrinhas.

É claro que nem sempre será possível exprimir conceitos abstratos utilizando pedras e paus, entretanto, devemos nos esforçar para conseguir. É uma forma lúdica e a mais básica com que o ser humano raciocinava, em tempos antigos.

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Nunca mais erre uma fórmula: análise dimensional, álgebra e ideogramas

Forgotten Lore

​Análise Dimensional

Um peso mexicano vale 0,17 real. Comprei 1.300 pesos. Quanto gastei em reais?

Há muito tempo atrás, eu me perguntava: a conta seria 1300*0,17 ou 1300/0,17?
A “análise dimensional” resolve facilmente esta dúvida.
Formula1.png
Peso corta com peso, sobrando real.
Se eu fizesse a conta oposta:

Formula2.jpg
O resultado é na unidade peso^2 / reais. Esta unidade não faz o menor sentido, então a fórmula está errada.
A análise dimensional consiste em fazer a conta algébrica com as unidades de medida, “cortando” e multiplicando as unidades.

Conheço esta técnica há tanto tempo que achei que todos a soubessem. Mas, descobri o oposto: a maioria das pessoas não conhece a análise dimensional. É uma técnica tão boa que não posso deixar de divulgá-la neste espaço.

Outro exemplo:

Tenho 20 m2 de área. Em um metro quadrado cabem em média 70 kg de uma material, digamos café. Cada quilo encolhe 10%, por…

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Um sujeito anormal procurando um número interessante

Forgotten Lore

Após tirar esta foto, do prédio escrito “normal”, o sujeito anormal da foto – eu – lembrou-se de um paradoxo “interessante”.

IMG_4316.JPG

Suponha que eu liste os números naturais em ordem:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Agora vamos dizer algum fato interessante sobre cada um dos números:

  • 1 É o primeiro número de todos, é divisor de todos os outros
  • 2 É o primeiro e único número primo par
  • 3 É o primeiro primo ímpar
  • 4 É o primeiro quadrado perfeito

Digamos que os números que têm alguma propriedade interessante sejam chamados de números “interessantes”.
E os números que não são interessantes sejam os números “normais”.

Utilizando esta definição, a lista ficaria assim:

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante

É uma lista que parece possível de fazer.

Agora, suponha que o número x seja o…

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Desafio do Penrose Institute

Forgotten Lore

Um desafiozinho de xadrez, criado pelo Penrose Institute.
É um puzzle relativamente simples de resolver, necessitando de um nível um pouco acima de básico de xadrez.
Entretanto, é muito interessante porque nem os melhores supercomputadores do mundo conseguem resolver.
Nota: Roger Penrose é um físico e matemático extremamente respeitado, tendo desenvolvido diversos trabalhos com o conhecido físico Stephen Hawking, um dos primeiros a propor a ideia de Buracos Negros.

O puzzle:

instituteoff.jpg Peças brancas jogam. Objetivo: brancas empatarem ou vencerem

Sabendo como são programados os computadores, sabe-se também como enganá-los.
Xadrez é um jogo em que o número de combinações facilmente explode para infinito. É difícil olhar 2 jogadas à frente, imagine 5, 10, 15 jogadas à frente! Mesmo o computador mais poderoso do mundo não consegue explorar todas as jogadas possíveis de maneira exaustiva, demoraria milhares de anos para tal…

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Resposta ao “Desafio Superinteressante”

Forgotten Lore

Desafio 1: Quantos ursos ao redor do buraco?
Puzzle1.JPG
Resposta: 6
Basta imaginar a posição central do dado como se fosse um buraco, e contar quantos ursos estão ao redor deste buraco.
Por exemplo, o número 5 tem o buraco no meio, e 4 ursos olhando ao redor.


Desafio 2: O quadrado da questão
 Puzzle2.JPG
Resposta: 6.
Desta vez, a ideia é considerar somente os quatro buracos do número quatro, e ignorar os outros buracos.

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​ Superinteressantes

Forgotten Lore

Uma senhora chamada Teresa Doi foi uma das pessoas mais importantes na minha formação.

Nos anos 90, quando eu tinha uns 13 anos, ganhei uma coleção de revistas Superinteressante dessa senhora, amiga de meus pais. Tinha umas 50 revistas velhas que ela iria jogar fora. Como sempre tive a fama de ser curioso e inteligente, ela achou que isto tinha mais utilidade para mim do que para o lixão.

Supers.JPG

E, realmente, esta coleção de revistas foi uma preciosidade para mim! Juro que li todas as revistas, devorando cada artigo, cada figura, cada gráfico. Quando criança, tinha a Biblioteca do Escoteiro Mirim. Na pré-adolescência, essas revistas Super. E a coleção Fundamentos da Matemática Elementar, no Ensino Médio.

Os temas variavam do surgimento do CD, e de como isto iria aposentar o LP, até Aristóteles, e como o maior pensador da história achava que o cérebro servia para esfriar o…

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Escher e aspirantes a Escher

Forgotten Lore

O grande pintor Maurice Escher deixou obras de cair o queixo. Como estas a seguir.

tess75.GIF

Algumas características: padrões recorrentes, branco e preto complementando-se, infinitamente por toda a tela.
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Que tal decifrar alguns dos segredos de Escher?

Vou descrever um padrão básico, mais ou menos simples.

Deve-se começar de uma forma simples, que cubra todo o plano. Digamos, um quadrado.
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A ideia é modificar o quadrado, de modo que a modificação no quadrado básico se propague por todos os quadrados do plano.
Pseudo2.png
(Modificação em um lado)

Pseudo3.png
(Modificação deve se refletir no lado oposto)

Pseudo4.png
(Modifico em cima e copio a mesma modificação embaixo)

Pseudo5.png
(Insiro alguma forma lúdica)

Assim, as formas podem ficar muito complexas, com as características de
padrões de pecas brancas e pretas complementando-se, infinitamente por todo o plano.

Pseudo6.png

Isto implica também que a aresta da direita fique igual à da esquerda. E a de cima fique igual à de baixo.

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