Como codificar as obras completas de Machado de Assis num único número

É possível codificar as obras completas de Machado de Assis num único número.

Este número terá valor entre zero e um.

Isto não quer dizer que tal número terá um bit, ou que a memória para armazenar tal número seja pequena.

Comecemos com a codificação em binário.

Se temos 26 letras no alfabeto, 5 bits binários são suficientes para descrever todas as letras (2⁵ = 32, que é maior do que 26). Acrescentemos o espaço em branco como o primeiro da lista.

Assim, temos:

Ignoremos letras maiúsculas e caracteres especiais, a bem da simplicidade.

Desta forma, o título “Dom Casmurro” seria codificado como:

00100011110110100000001100001100110110110101100101001001111

Para decodificar a mensagem, basta dividi-la em pedaços de 5 bits, consultar a tabela e anotar a letra correspondente.

00100 01111 01101 0000 00011 00001 10011 01101 10101 10010 10010 01111

E como colocar tudo isto dentro de um único número?

Copie toda o número obtido e cole após um zero e vírgula.

0,00100011110110100000001100001100110110110101100101001001111

Certamente isto é um número, embora possivelmente muito longo.

É possível continuar a utilizar a mesma técnica para codificar o livro Dom Casmurro inteiro. E continuar, com Helena, A Cartomante, e todas as obras de Machado de Assis, acrescentando zeros e uns à direita do número obtido.

Vamos chamar tal número mágico de “número de Capitolina”, em homenagem à bela, sensual e misteriosa personagem com olhos de cigana oblíqua e dissimulada.

Por que parar em Machado? Que tal incluir toda a literatura brasileira e portuguesa neste número?

Imagine só, um número infinitamente longo que codifique os sonetos de Camões, todos os heterônimos de Fernando Pessoa, incluindo os poemas simples e belos de Mário Quintana e as canções do amor demais de Vinícius e Tom.

Sim, o número de Capitu existe, e pode ser obtido pela técnica descrita. É fascinante pensar que, escolhendo um número aleatório qualquer, este número pode ter toda a obra da Língua Portuguesa codificada em seus dígitos, embora a probabilidade disto ocorrer tenda a zero.

Qual a pegadinha aqui?

A pegadinha é que o número de Capitu necessita de uma precisão infindável.

O problema não é tal número existir, e sim, armazenar o mesmo. O problema é na prática, não na teoria.

O título “Dom Casmurro” tem doze letras, incluindo o espaço. Pela minha codificação, cada letra precisa de 5 bits, então são necessários 60 bits para transmitir esta informação.

Não sei quantas palavras existem na literatura brasileira, mas é um número gigantesco. Digamos que haja alguns bilhão de letras para escrever todos os livros, dando um chute qualquer.

Ou seja, necessitaríamos de alguns bilhões de bits para registrar num papel tal número, ou seja, não conseguimos ganhar nada em termos de compressão de informação.

E se usarmos um computador para registrar o número de Capitu numa única variável (digamos, um float ou double por exemplo), será que funciona?

Não, não funciona. O que os computadores fazem é arredondar os números. Há uma precisão finita, na representação de um número real.

E pior ainda, o número de Capitu nem precisa ser real. Como a quantidade descrita é finita, podemos ter o número gigante dividido por uma potência de 10 que descreva exatamente o número.

Se quisermos codificar todas as obras da literatura universal, que já foram escritas e que vão ser escritas no futuro, não só no planeta Terra mas em todo o universo, aí sim talvez precisemos lançar mão de um número real.

Este é o poder da matemática. Há um espaço infinito numa linha reta de 0 a 1.

Isto me lembra um famoso poema, de William Blake:

“Ver um mundo em um grão de areia

e um céu numa flor selvagem,

Ter o infinito na palma de sua mão

e a eternidade em uma hora.”

001100111110010001110111110100101000010101110000001100011111001000101

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Feynman, Russell e Filosofia

Três indicações nerds ao quadrado: quadrinhos sobre grandes cientistas e pensadores!

1) Feynman: História em quadrinhos sobre o grande físico Richard Feyman. Ele é um gênio cult, escreveu diversos livros não só sobre física mas sobre histórias interessantes de sua vida – e tais quadrinhos são baseados nestas.

Ele tem uma série de aulas, “Feynman lectures on physics”, publicadas em formas de vídeo e livros. Lendo essas, a principal mensagem que aprendi foi que a física, um edifício enorme e sólido, pode ser contestada no seu nível mais básico! Ninguém sabe o que é energia, por exemplo.

2) Logicomix: História em quadrinhos baseada no filósofo inglês Bertrand Russell, talvez uma das pessoas mais inteligentes da história! A narrativa é sobre a sua busca das fundações primárias da matemática, quase a busca pela verdade absoluta.
Em seu caminho, Russell encontra outros grandes como o matemático George Cantor, o filósofo Ludwig Wittgenstein, e, é claro, o lógico Kurt Godel, que com seus Teoremas da Incompletude derruba todo o trabalho de Russell.

Um detalhe. Um dos autores, Christos Papadimitriou, tem vários livros técnicos, como um de Otimização Combinatória e outro de algoritmos.

3) Cartoon introduction to Philosophy: narrativa gráfica sobre diversos filósofos, desde os pré-socráticos até os tempos modernos. É muito interessante ver em desenho conceitos como “Entro no mesmo rio, porém é tudo diferente: eu mudei e o rio mudou”.

O terceiro livro só tem via digital. O segundo, Logicomix, é simples de encontrar numa livraria. O primeiro, Feynman, comprei na Liv. Cultura do Conjunto Nacional. Recomendo comprar os livros físicos, enquanto as grandes livrarias ainda existem.

Trilha sonora do post. Cássia Eller, Por enquanto, música da Legião Urbana.

Links:

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia:

https://ideiasesquecidas.com/

https://www.livrariacultura.com.br/p/ebooks/ciencias-exatas/fisica/feynman-107256233

Sobre a Quadratura do Círculo


A quadratura do círculo é um problema grego antigo.

“Quadratura” vem de “quadrado”. A ideia aqui é que é muito fácil fazer a conta da área de um quadrado.

A quadratura de uma área qualquer (digamos, um trapézio, um octógono) equivale a calcular o número igual de quadrados a esta área.

Como calcular a área de um círculo, por quadrados?

Segue um exercício simples, só para ilustrar. Há métodos muito melhores que este para calcular a área do círculo, mas é didático.

Imagine um círculo, e um quadrado de lado unitário.

A primeira tentativa é a de colocar o círculo inscrito no grid retangular. É o limite superior.

O limite inferior é contar o grid inscrito no círculo.

Podemos fazer a mesma coisa, porém com um quadrado menor (1/4 da área).

Limite superior:

Limite inferior:

Para efeito de comparação, a área real é 28,27 mm2, pela tradicional fórmula pi*r^2.

Aumentando a resolução, dá mais trabalho contar, porém aumenta a precisão das estimativas.

Limite superior:

Limite inferior:

E assim sucessivamente, ad infinitum…


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Representação visual da sequência de Fibonacci

 

A sequência de Fibonacci há tempos fascina os matemáticos, por ter uma regra de formação simples, porém com diversas propriedades surpreendentes.

Esta sequência começa com 1 e 1. Os demais números são a soma dos dois anteriores. Portanto, os próximos números são:

2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
8 = 5 + 3
e assim sucessivamente.

Há uma forma bonita de visualizar esta sequência.
Iniciando com um quadrado de lado 1, coloque outro quadrado idêntico do seu lado.

Como o próximo número é a soma desses dois.

E assim sucessivamente.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc…

Com 10 quadrados:

Criei dois programinhas para plotar esta visualização.

Uma em Javascript D3, que é uma biblioteca fantástica para a parte gráfica. Vide projeto interativo no Github, aqui: https://asgunzi.github.io/Fibonacci/

E outra em Excel – VBA, disponível para download aqui. Print da tela:

O VBA é meio subestimado nos dias de hoje, porém é uma linguagem tão poderosa quanto todas as outras.

A essência de ambos os plots não é muito difícil. Em VBA, o comando para adicionar um retângulo é o seguinte.

ActiveSheet.Shapes.AddShape(msoShapeRectangle, x0, y0, lado, lado).Select

Basta informar a posição de início (x,y) e o tamanho do lado.

A seguir, colorir o interior e a borda.

With Selection
    .ShapeRange(1).Fill.ForeColor.RGB = Information.RGB(200 * Rnd, 200 * Rnd, 200 * Rnd)
    .ShapeRange(1).Line.ForeColor.RGB = Information.RGB(0, 0, 0)
    .ShapeRange(1).Line.Weight = 1
End With

A inspiração para tal projetinho foi a capa do livro Number Theory, de George Andrews.

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Números primos e compostos em álgebra de pedrinhas

Números compostos são aqueles divisíveis por outros números inteiros maiores do que 1.

Por exemplo, 6 pode ser decomposto de algumas formas, sem deixar resto:

Já o número 7 é primo. Não dá para dividi-lo. Nas figuras abaixo, sempre vão sobrar algumas bolinhas.

Pelas características acima, o “primo” de números primos refere-se a “primeiro”. São os números indivisíveis, os blocos fundamentais para a multiplicação dos números, e um grande esforço da Teoria dos Números é em cima de números primos.

Máximo Divisor Comum

Outro conceito muito importante é o de Máximo Divisor Comum entre dois números.

Em álgebra de bolinhas, um divisor comum entre dois números pode ser visualizado como a mesma base do retângulo que divide os números.

O máximo divisor comum é o tamanho máximo desta base.

Números primos entre si são aqueles que não têm divisor comum. Ou seja, o único jeito de colocá-los sobre a mesma base é quando a base é igual a 1.


Os números 4 e 9 são primos entre si.

Esta é uma forma de visualizar números primos e compostos em álgebra de pedrinhas.



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Álgebra de pedrinhas

“Cálculo” é uma palavra derivada do latim, e significa “pedra”. É por isso que “cálculo renal” significa pedra nos rins.

Para mim, a matemática deveria se basear o máximo possível nas suas noções mais básicas, pedrinhas e formas geométricas.

Este texto redefine as operações básicas da matemática em uma nova álgebra, a álgebra de pedrinhas.

Começa da noção de que cada número tem um equivalente em pedras.

E a soma é simplesmente a adição de pedrinhas:

A subtração é a diferença de pedras.

E no caso de números negativos? É como se fosse um empréstimo, uma pessoa devendo as pedrinhas para outras.

A multiplicação é uma soma de soma. 4 vezes 3 significa o número 4 somado três vezes seguidas. Isto forma um retângulo:

Há outra forma de visualizar a multiplicação, que vai ser muito útil em alguns exercícios futuros. Imaginar primeiro as 4 bolinhas, aumentar o raio das bolinhas, inserir 3 bolinhas em cada bola maior, e apagar a bola maior.

Finalmente, a divisão. A noção básica é que a divisão é o contrário da multiplicação. Digamos, 13 / 4 significa que 13 bolinhas devem ser colocadas em forma de retângulo, onde a base é de 4 bolinhas:

Note que sobra uma pedra. 13 /4 = 3, restando 1 pedra.

Em termos de fração, fica um pouco difícil visualizar pedaços das pedrinhas.

É claro que nem sempre será possível exprimir conceitos abstratos utilizando pedras e paus, entretanto, devemos nos esforçar para conseguir. É uma forma lúdica e a mais básica com que o ser humano raciocinava, em tempos antigos.

Nunca mais erre uma fórmula: análise dimensional, álgebra e ideogramas

Forgotten Lore

​Análise Dimensional

Um peso mexicano vale 0,17 real. Comprei 1.300 pesos. Quanto gastei em reais?

Há muito tempo atrás, eu me perguntava: a conta seria 1300*0,17 ou 1300/0,17?
A “análise dimensional” resolve facilmente esta dúvida.
Formula1.png
Peso corta com peso, sobrando real.
Se eu fizesse a conta oposta:

Formula2.jpg
O resultado é na unidade peso^2 / reais. Esta unidade não faz o menor sentido, então a fórmula está errada.
A análise dimensional consiste em fazer a conta algébrica com as unidades de medida, “cortando” e multiplicando as unidades.

Conheço esta técnica há tanto tempo que achei que todos a soubessem. Mas, descobri o oposto: a maioria das pessoas não conhece a análise dimensional. É uma técnica tão boa que não posso deixar de divulgá-la neste espaço.

Outro exemplo:

Tenho 20 m2 de área. Em um metro quadrado cabem em média 70 kg de uma material, digamos café. Cada quilo encolhe 10%, por…

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