Categoria: Visual Math

Sobre a Quadratura do Círculo


A quadratura do círculo é um problema grego antigo.

“Quadratura” vem de “quadrado”. A ideia aqui é que é muito fácil fazer a conta da área de um quadrado.

A quadratura de uma área qualquer (digamos, um trapézio, um octógono) equivale a calcular o número igual de quadrados a esta área.

Como calcular a área de um círculo, por quadrados?

Segue um exercício simples, só para ilustrar. Há métodos muito melhores que este para calcular a área do círculo, mas é didático.

Imagine um círculo, e um quadrado de lado unitário.

A primeira tentativa é a de colocar o círculo inscrito no grid retangular. É o limite superior.

O limite inferior é contar o grid inscrito no círculo.

Podemos fazer a mesma coisa, porém com um quadrado menor (1/4 da área).

Limite superior:

Limite inferior:

Para efeito de comparação, a área real é 28,27 mm2, pela tradicional fórmula pi*r^2.

Aumentando a resolução, dá mais trabalho contar, porém aumenta a precisão das estimativas.

Limite superior:

Limite inferior:

E assim sucessivamente, ad infinitum…

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Representação visual da sequência de Fibonacci

 

A sequência de Fibonacci há tempos fascina os matemáticos, por ter uma regra de formação simples, porém com diversas propriedades surpreendentes.

Esta sequência começa com 1 e 1. Os demais números são a soma dos dois anteriores. Portanto, os próximos números são:

2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
8 = 5 + 3
e assim sucessivamente.

Há uma forma bonita de visualizar esta sequência.
Iniciando com um quadrado de lado 1, coloque outro quadrado idêntico do seu lado.

Como o próximo número é a soma desses dois.

E assim sucessivamente.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc…

Com 10 quadrados:

Criei dois programinhas para plotar esta visualização.

Uma em Javascript D3, que é uma biblioteca fantástica para a parte gráfica. Vide projeto interativo no Github, aqui: https://asgunzi.github.io/Fibonacci/

E outra em Excel – VBA, disponível para download aqui. Print da tela:

O VBA é meio subestimado nos dias de hoje, porém é uma linguagem tão poderosa quanto todas as outras.

A essência de ambos os plots não é muito difícil. Em VBA, o comando para adicionar um retângulo é o seguinte.

ActiveSheet.Shapes.AddShape(msoShapeRectangle, x0, y0, lado, lado).Select

Basta informar a posição de início (x,y) e o tamanho do lado.

A seguir, colorir o interior e a borda.

With Selection
    .ShapeRange(1).Fill.ForeColor.RGB = Information.RGB(200 * Rnd, 200 * Rnd, 200 * Rnd)
    .ShapeRange(1).Line.ForeColor.RGB = Information.RGB(0, 0, 0)
    .ShapeRange(1).Line.Weight = 1
End With

A inspiração para tal projetinho foi a capa do livro Number Theory, de George Andrews.

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