Quadraturas do retângulo

Aqui, uma macro que lida com o problema da “quadratura do retângulo”.

Dado um retângulo, digamos de tamanho 11 x 10, como eu decomponho a mesma no menor número de quadrados menores?

A macro utiliza um algoritmo recursivo. Basicamente, esta vai testando todas as combinações possíveis em duas dimensões, até chegar ao final, e compara o número de quadrados gerados. É o chamado método da força-bruta.

Mesmo incluindo alguns truques, como eliminando quem tem mais quadrados que o mínimo até então, o algoritmo continua sendo força bruta – ou seja, demora muito quando aumenta o tamanho do problema.

Outro exemplo, um retângulo 13 x 11.

Uma utilidade possível é encaixar produtos em pallets, ou conjugar cargas em carregamentos, utilizando métodos adaptados.

Há um problema similar, porém com uma restrição muito mais forte: todos os quadrados menores devem ter tamanho diferente.

Esta restrição é tão forte que a maioria dos retângulos não vai ter solução. Porém, algumas que as têm geram resultados muito bonitos, como o seguinte (retângulo 33 x 32).

Houve uma série de matemáticos que estudou este problema, chegando em soluções bem legais (porém, muito mais matemáticas que computacionais).

Uma história desses é mostrada no livro “Mania de matemática”, de Ian Stewart.

Link para download: https://github.com/asgunzi/quadraturaVBA

Como representar o 42 como a soma de 3 cubos?

Como representar um número inteiro como a soma de três cubos?
Por 65 anos, a resposta para todos os números pequenos foi descoberta, exceto o número 42.

Por algum motivo, o 42 apresentava um grau extremamente elevado de dificuldade.
A reportagem descreve um pouco desta descoberta.

Aliás, 42 = -80538738812075974³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

https://www.uol.com.br/tilt/ultimas-noticias/bbc/2019/09/13/apos-65-anos-matematicos-finalmente-solucionam-enigma-da-soma-dos-tres-cubo.htm

O que é uma conjectura?

Uma conjectura é uma afirmação que se suspeita ser verdadeira, mas que ainda não se sabe se é verdadeira ou falsa.

A conjectura tem que ser provada matematicamente, para termos certeza.

O exemplo mais famoso talvez seja o da Conjectura de Goldbach, enunciada da seguinte forma:

“Qualquer número par maior do que 2 é formado pela soma de dois números primos”

Exemplos:

4 = 2+2

6 = 3+3

8 = 3+5

10 = 3+7

E assim sucessivamente. Até hoje, ninguém provou a conjectura…

Computacionalmente, todos os números até a ordem de 10^18 já foram testados, e nenhum contraexemplo foi encontrado.

Observe a assimetria: um único contraexemplo seria suficiente para provar a conjectura falsa, porém, na matemática, 10^18 exemplos positivos não bastam para provar a conjectura verdadeira.

E se existir algum número imenso não satisfaz a conjectura?

Por isso, as conjecturas devem ser demonstradas matematicamente para terem validade.

Aliás, tem um livro muito interessante chamado “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach”, onde o autor coloca a conjectura como tema central, mas também fala indiretamente sobre a vida, as ambições e a carreira de um matemático.

https://www.livrariacultura.com.br/p/livros/literatura-internacional/romances/tio-petros-e-a-conjectura-de-goldbach-557696

Links:

Baseado em Godel, os teoremas da incompletude – National Geographic

https://nationalgeographic.sapo.pt/historia/grandes-reportagens/1304-ed-especial-godel-mai2017


Ideias técnicas com uma pitada de filosofia: https://ideiasesquecidas.com

Ferramentas Excel-VBA: https://ferramentasexcelvba.wordpress.com/