Números primos e compostos em álgebra de pedrinhas

Números compostos são aqueles divisíveis por outros números inteiros maiores do que 1.

Por exemplo, 6 pode ser decomposto de algumas formas, sem deixar resto:

Já o número 7 é primo. Não dá para dividi-lo. Nas figuras abaixo, sempre vão sobrar algumas bolinhas.

Pelas características acima, o “primo” de números primos refere-se a “primeiro”. São os números indivisíveis, os blocos fundamentais para a multiplicação dos números, e um grande esforço da Teoria dos Números é em cima de números primos.

Máximo Divisor Comum

Outro conceito muito importante é o de Máximo Divisor Comum entre dois números.

Em álgebra de bolinhas, um divisor comum entre dois números pode ser visualizado como a mesma base do retângulo que divide os números.

O máximo divisor comum é o tamanho máximo desta base.

Números primos entre si são aqueles que não têm divisor comum. Ou seja, o único jeito de colocá-los sobre a mesma base é quando a base é igual a 1.


Os números 4 e 9 são primos entre si.

Esta é uma forma de visualizar números primos e compostos em álgebra de pedrinhas.



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Álgebra de pedrinhas

“Cálculo” é uma palavra derivada do latim, e significa “pedra”. É por isso que “cálculo renal” significa pedra nos rins.

Para mim, a matemática deveria se basear o máximo possível nas suas noções mais básicas, pedrinhas e formas geométricas.

Este texto redefine as operações básicas da matemática em uma nova álgebra, a álgebra de pedrinhas.

Começa da noção de que cada número tem um equivalente em pedras.

E a soma é simplesmente a adição de pedrinhas:

A subtração é a diferença de pedras.

E no caso de números negativos? É como se fosse um empréstimo, uma pessoa devendo as pedrinhas para outras.

A multiplicação é uma soma de soma. 4 vezes 3 significa o número 4 somado três vezes seguidas. Isto forma um retângulo:

Há outra forma de visualizar a multiplicação, que vai ser muito útil em alguns exercícios futuros. Imaginar primeiro as 4 bolinhas, aumentar o raio das bolinhas, inserir 3 bolinhas em cada bola maior, e apagar a bola maior.

Finalmente, a divisão. A noção básica é que a divisão é o contrário da multiplicação. Digamos, 13 / 4 significa que 13 bolinhas devem ser colocadas em forma de retângulo, onde a base é de 4 bolinhas:

Note que sobra uma pedra. 13 /4 = 3, restando 1 pedra.

Em termos de fração, fica um pouco difícil visualizar pedaços das pedrinhas.

É claro que nem sempre será possível exprimir conceitos abstratos utilizando pedras e paus, entretanto, devemos nos esforçar para conseguir. É uma forma lúdica e a mais básica com que o ser humano raciocinava, em tempos antigos.

Prova visual da sequência 1+3+5+…

Gosto muito de visualizar a matemática através de sua noção mais básica, a de utilizar pedras e disposições geométricas.

Há a fórmula muito conhecida a seguir:

1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2

Normalmente, é provada utilizando o Princípio da Indução, e não há nada de errado nisto.

Porém, há algumas formas de visualizar a solução, considerando cada número inteiro como uma pedra:

Método 1:

Soma135.JPG

Método 2:

Soma135_metodo2.JPG

É possível fazer muita matemática com pedras, geometria e imaginação!




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