Braquistócronas, tautócronas e cicloides

Fui ao Parque Sabina, em S. Bernardo do Campo, no último fim de semana. O Parque Sabina tem um aquário de vida marinha, com pinguins, tartarugas e arraias. Há também uma bela exposição científica, com experimentos de acústica, ótica, magnetismo, eletricidade, entre outros.

Havia uma demonstração da curva braquistócrona. Fiz um vídeo, postado abaixo.

No vídeo, há três bolinhas seguindo três trajetórias diferentes: uma linha reta, uma curva simples, e a vencedora é a braquistócrona.

Curiosamente, estive conversando com o amigo Marcos Melo há uma semana.

Fiz um simulador para ilustrar a curva cicloide, obtida pensando num ponto sobre uma circunferência girando (aqui).

Eu não sabia, mas o Melo explicou que a cicloide de cabeça para baixo é a braquistócrona (cronos = tempo e braqui = menor).

Mais do que isso. A mesma curva cicloide invertida é uma tautócrona (mesmo tempo). Solte duas bolinhas de qualquer posição na curva, elas vão chegar ao mesmo tempo no ponto mais baixo.

Essas ideias são totalmente anti-intuitivas. Solto uma bola de mais longe e ela chega no mesmo tempo? A resposta é a forma da curva: ela está mais longe, mas vai ganhar mais aceleração, enquanto a mais próxima está sujeita a menos aceleração.

Para resolver essas equações, imagino que um procedimento seja separar a curva em pedacinhos retos e calcular a aceleração e velocidade para cada pedacinho – ou seja, usar cálculo.

Não à toa, os primeiros matemáticos que resolveram tais equações foram os pioneiros do cálculo. Diz a lenda que o matemático Jakob Bernoulli propôs o problema como desafio, e vieram 5 soluções. Além da dele mesmo, Gottfried Leibniz, Guilherme de l’Hôpital, Ehrendrie von Tschirnhaus e uma solução anônima. Para quem fez cálculo na faculdade, todo mundo aí virou nome de teorema, exceto o von Tschirnhaus, de quem nunca tinha ouvido falar.

Sobre a carta anônima, logo ficou evidente ser de Isaac Newton. Bernoulli teria dito: “reconheço o tigre pelas garras”. Afinal, Newton criou a sua própria versão de cálculo, com notação diferente da notação que temos hoje (que deriva de Leibniz). Além disso, naquela época, quantos dominavam o cálculo?

Este é o poder da matemática.

https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve


Ideias técnicas com uma pitada de filosofia: https://ideiasesquecidas.com

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Revista Eureka

A revista Eureka é da SBM, Sociedade Brasileira de Matemática, que organiza competições como as Olimpíadas de Matemática.

Esta revista tem provas e artigos de preparação para estas competições. Foi publicado até 2016, e está em formato PDF no link a seguir.

Há outros links e recomendações no site.

https://www.obm.org.br/como-se-preparar/provas-e-gabaritos/

O conteúdo dessas olimpíadas é uma matemática muito mais pesada do que a cai no vestibular normal. Ex. muita Teoria dos números. Mas, se o aluno consegue resolver essas, o conteúdo normal fica fácil.

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia

https://ideiasesquecidas.com/

https://forgottenmath.home.blog/

Como codificar as obras completas de Machado de Assis num único número

É possível codificar as obras completas de Machado de Assis num único número.

Este número terá valor entre zero e um.

Isto não quer dizer que tal número terá um bit, ou que a memória para armazenar tal número seja pequena.

Comecemos com a codificação em binário.

Se temos 26 letras no alfabeto, 5 bits binários são suficientes para descrever todas as letras (2⁵ = 32, que é maior do que 26). Acrescentemos o espaço em branco como o primeiro da lista.

Assim, temos:

Ignoremos letras maiúsculas e caracteres especiais, a bem da simplicidade.

Desta forma, o título “Dom Casmurro” seria codificado como:

00100011110110100000001100001100110110110101100101001001111

Para decodificar a mensagem, basta dividi-la em pedaços de 5 bits, consultar a tabela e anotar a letra correspondente.

00100 01111 01101 0000 00011 00001 10011 01101 10101 10010 10010 01111

E como colocar tudo isto dentro de um único número?

Copie toda o número obtido e cole após um zero e vírgula.

0,00100011110110100000001100001100110110110101100101001001111

Certamente isto é um número, embora possivelmente muito longo.

É possível continuar a utilizar a mesma técnica para codificar o livro Dom Casmurro inteiro. E continuar, com Helena, A Cartomante, e todas as obras de Machado de Assis, acrescentando zeros e uns à direita do número obtido.

Vamos chamar tal número mágico de “número de Capitolina”, em homenagem à bela, sensual e misteriosa personagem com olhos de cigana oblíqua e dissimulada.

Por que parar em Machado? Que tal incluir toda a literatura brasileira e portuguesa neste número?

Imagine só, um número infinitamente longo que codifique os sonetos de Camões, todos os heterônimos de Fernando Pessoa, incluindo os poemas simples e belos de Mário Quintana e as canções do amor demais de Vinícius e Tom.

Sim, o número de Capitu existe, e pode ser obtido pela técnica descrita. É fascinante pensar que, escolhendo um número aleatório qualquer, este número pode ter toda a obra da Língua Portuguesa codificada em seus dígitos, embora a probabilidade disto ocorrer tenda a zero.

Qual a pegadinha aqui?

A pegadinha é que o número de Capitu necessita de uma precisão infindável.

O problema não é tal número existir, e sim, armazenar o mesmo. O problema é na prática, não na teoria.

O título “Dom Casmurro” tem doze letras, incluindo o espaço. Pela minha codificação, cada letra precisa de 5 bits, então são necessários 60 bits para transmitir esta informação.

Não sei quantas palavras existem na literatura brasileira, mas é um número gigantesco. Digamos que haja alguns bilhão de letras para escrever todos os livros, dando um chute qualquer.

Ou seja, necessitaríamos de alguns bilhões de bits para registrar num papel tal número, ou seja, não conseguimos ganhar nada em termos de compressão de informação.

E se usarmos um computador para registrar o número de Capitu numa única variável (digamos, um float ou double por exemplo), será que funciona?

Não, não funciona. O que os computadores fazem é arredondar os números. Há uma precisão finita, na representação de um número real.

E pior ainda, o número de Capitu nem precisa ser real. Como a quantidade descrita é finita, podemos ter o número gigante dividido por uma potência de 10 que descreva exatamente o número.

Se quisermos codificar todas as obras da literatura universal, que já foram escritas e que vão ser escritas no futuro, não só no planeta Terra mas em todo o universo, aí sim talvez precisemos lançar mão de um número real.

Este é o poder da matemática. Há um espaço infinito numa linha reta de 0 a 1.

Isto me lembra um famoso poema, de William Blake:

“Ver um mundo em um grão de areia

e um céu numa flor selvagem,

Ter o infinito na palma de sua mão

e a eternidade em uma hora.”

001100111110010001110111110100101000010101110000001100011111001000101