Padrões em círculos

É possível criar padrões extremamente intrincados, a partir de construções simples.

(Versão interativa: https://asgunzi.github.io/Padr-es-em-C-rculos/PadroesCirculos.html)

Seja uma malha formada de pontos.

Se o raio de cada ponto for aumentado, e com o raio vermelho levemente maior que o azul.

Começa a ficar interessante quando os raios aumentam a ponto de se tangenciar.

Aumentando mais ainda.

E assim sucessivamente:

Padrões diversos formados por diferentes raios:

Brinque com os padrões em:

https://asgunzi.github.io/Padr-es-em-C-rculos/PadroesCirculos.html

Código fonte, para criar suas próprias variações.

https://github.com/asgunzi/Padr-es-em-C-rculos

Veja também:

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A Colmeia dos Números Primos

Que tal representar números primos numa grid hexagonal, como se fosse uma colmeia?

A ideia é começar de um ponto central, seguindo uma numeração a partir de camadas. Para números compostos, deixar a célula cinza; para números primos, deixar dourado (como se fosse a luz do sol passando por uma peneira, e só há buraco onde o número da casa é primo.

Para 2 camadas, fica assim:

Para 3 camadas:

Fiz uma rotina em Javascript D3, para ficar interativo. Você pode conferir aqui.

https://asgunzi.github.io/Colmeia-Primos/ColmeiaPrimos.html

Para 4 camadas:

Para 7 camadas:

Conforme comentado em post anterior, não parece haver um padrão muito claro – e essa falta de padrão dos primos vem atormentando os matemáticos há milênios!

Para 25 camadas:

Para 50 camadas:

Veja artigos semelhantes e me siga no LinkedIn:

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Visualização do Crivo de Erastótenes

O crivo de Erastótenes continua sendo uma forma bastante eficiente de encontrar números primos, embora atualmente existam métodos melhores. Foi criado pelo matemático grego Erastótenes, que viveu cerca de 200 a.C.

A ideia é bastante simples.

Digamos, tenho uma lista de números de 1 a 20:
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]

Pulo o 1, porque este divide todo mundo e até hoje há controvérsias se este deve ou não ser primo.

O próximo é o 2: e aí, risco todo mundo que é divisível por 2, daí para frente:
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]

O próximo não riscado é o 3: repito o procedimento e elimino todos os múltiplos de 3:

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Como resolver o cubo spinner

O “cubo spinner” é a mais nova aquisição para minha coleção de cubos mágicos (videhttps://ideiasesquecidas.com/cubos-magicos/).

É um hand spinner, daqueles que ficam girando e foram moda anos atrás, e um cubo 3 x 3 com uma camada só.

Não sei quem teve essa ideia, mas eu gostei.

A resolução do cubo spinner é muito simples.

Tem apenas 4 movimentos possíveis: R (right), L (left), U (upper) e D (down).

Vou ilustrar apenas o R, porque os outros são semelhantes.

É importante notar que as peças do lado apenas ficam viradas para cima ou para baixo, não trocam de posição com outras peças.
Neste tipo de puzzle, é sempre bom identificar quais as peças mais invariantes possíveis, e começar por elas.

Já as peças de canto trocam de posição entre si, a cada movimento.

O movimento (RU)^2 (direita e depois a posição superior, repetido duas vezes), tem o efeito…

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Prova visual soma 1/4 + (1/4)^2 + …

Segue uma bela prova visual da séria 1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + …

Vamos dividir um triângulo em 4:

O triângulo interior (em branco) tem 1/4 da área do triângulo.

Aplicando a mesma técnica no primeiro triângulo, agora o interior em branco soma mais 1/4 de 1/4.

E assim sucessivamente.

Portanto, a soma da série infinita equivale a 1/3 da área original do triângulo.

Para quem quiser downloadar a rotina, foi feita em Excel VBA: https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7joBrTIUJJGgUugkFa

A inspiração desta prova foi a bela capa do livro “Proof without words II”, de Roger Nelsen:

Veja também:

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Projeto Euler

Uma dica para quem quer aprender alguma linguagem de programação + matemática: o Projeto Euler.

https://projecteuler.net/

Este contém 788 problemas a serem resolvidos, em ordem crescente de dificuldade.

O próximo desafio só é liberado após resolver o atual.

Usuário deve fazer cadastro para acessar, e é gratuito.

Exemplo, essa aqui é a primeira tarefa:

“If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.

Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000″

No caso acima, há uma abordagem ingênua (testar todo mundo, força bruta), e também algumas mais elaboradas (testar múltiplos de 3 e 5 e tomar cuidado quando o número é múltiplo de ambos).

Eles pedem para não divulgar soluções, que são como spoilers de filmes, estragam toda a brincadeira.

Tem um fórum de…

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Provas visuais sobre soma de 4 e 5 inteiros consecutivos

Em post anterior (abaixo), foi mostrado um resultado simples, e que fica bem ilustrado utilizando a “Álgebra de pedrinhas”.

É simples estender o mesmo raciocínio, para provar resultados sobre somas consecutivas de outros números.

A soma de 4 números inteiros consecutivos tem resto 2

Note o padrão: entre 4 inteiros consecutivos, um deles será divísivel por 4, outros terão restos 1, 2 e 3.

A soma deles terá resto (1 + 2 + 3) mod 4 = 2. É como somar as pedrinhas brancas do diagrama acima: vai completar uma linha, e sobrar 2 para a próxima linha.

Ex. 3+4+5+6 = 18

18 = 4*4 + 2, portanto, 18 = 2 mod 4

A soma de 5 números inteiros consecutivos tem resto…

Mesmo raciocínio. Entre 5 inteiros consecutivos, um deles será divisível por 5, outros terão resto de 1 a 4.

Somando os restos 1, 2, 3 e 4…

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Prova visual de que a soma de três números consecutivos é divisível por 3

Esta é uma prova bem simples de visualizar, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.

Dados três números consecutivos, um deles vai ser divisível por 3, outro vai deixar resto 1 e o terceiro vai deixar resto 2. A soma deles será divisível por 3.

Veja também:

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O infinito é um laço amoroso

O astrônomo Arthur Edditon chamou o infinito de “laço amoroso”, mas está mais para um 8 preguiçoso: os matemáticos o chamam de “lemniscata”.

Conta a lenda que um jovem apaixonado estava tão envolvido no laço infinito da lemniscata que criou uma rima:

“Era uma vez um jovem de Trinity
Que resolveu a raiz quadrada de infinito.
Ao contar os dígitos,
Ele se aquietou com os símbolos
Deixou a ciência, e assumiu a divindade”

O Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert (referência ao matemático David Hilbert) dá um vislumbre do infinito.

O hotel de Hilbert tem infinitos quartos numerados como 1, 2, 3,… e está com todos os quartos ocupados.

Chega um turista a mais, procurando hospedagem. Como fazer? Simples. Hilbert pede para o ocupante do quarto 1 se mudar para o 2, o do 2 para o 3, o do 3 para o 4, e assim sucessivamente, até infinito. Dessa…

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