A guerra do cálculo

Pense num matemático. Um gênio solitário, sem um tostão no bolso, porém com a cabeça repleta de equações. Alguém sem vaidades, cuja missão final é encontrar a verdade universal, desapaixonada, independente dos créditos. Ledo engano.

Não é a paixão financeira que move as arenas intelectuais, porém, se o dinheiro não é a moeda mais importante, o crédito pelas ideias ocupa parte deste papel.

“A guerra do cálculo” narra a batalha de dois dos maiores gênios da humanidade, Isaac Newton e Gottfried Leibniz, pela autoria do cálculo – uma das maiores conquistas da matemática e o pesadelo de todo o universitário de exatas.

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Hoje em dia, há um consenso de que ambos descobriram o cálculo de forma independente. Apesar de Newton ter “vencido” a guerra, foi o legado de Leibniz que ficou. Até hoje, utilizamos a notação deste último, e vários outros matemáticos (Bernoulli, L’Hôpital) derivam de Leibniz.

É…

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Como resolver os Anéis Húngaros (parte 1)

Eu ganhei da minha esposa o puzzle abaixo. O fabricante (Gemini) chamou o mesmo de “Anéis II”, provavelmente porque a versão “Anéis I” tem dois anéis, enquanto “Anéis II” tem três anéis.

Uma informação preliminar. Podem ter 3 anéis ou 200, que dá na mesma. É muito fácil resolver os anéis adicionais, recaindo na versão original, com 2 anéis.

Esquematicamente:

(nota: colori só as peças que interessam para entender os algoritmos a seguir)

Posteriormente, fiquei sabendo que o puzzle é conhecido como “Anéis húngaros”.

Bagunçado, fica assim:

Segue a minha resolução, em duas partes. Uma nota: não sei qual a notação nem a solução “oficial”. Eu gosto de explorar e criar as minhas soluções, que não serão necessariamente as melhores nem as mais elegantes. Porém, gosto de registrar o passo-a-passo do raciocínio envolvido. Para outros puzzles combinatórios, vide Cubos Mágicos (ideiasesquecidas.com).

Notação

Chamo de R o movimento horário do…

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Soma de ímpares consecutivos – álgebra de pedrinhas

Gosto muito de provas visuais. Tenho neste blog uma coleção de provas deste tipo, envolvendo “álgebra de pedrinhas” – vide Laboratório de Matemática (ideiasesquecidas.com). Segue mais uma.

Prova visual de que a soma de ímpares consecutivos é divisível por 4:

Algebricamente, (2n+1) + (2n+3) = 4n +4, que é divisível por 4.

Ambas as provas são muito simples, porém a visual é mais bonita.

Veja também:

Prova visual da sequência 1+3+5+… (ideiasesquecidas.com)

Pitágoras Visual (ideiasesquecidas.com)

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A Conjectura de Collatz

Ferramentas em Excel-Vba

A Conjectura de Collatz é o problema não resolvido de matemática mais simples da história.

Pegue um número qualquer n.

  • Se n for par, divida por 2
  • Se n for ímpar, calcule 3*n+1

E continue fazendo essa conta.

A conjectura diz que a sequência sempre vai convergir para 1.

Exemplo: número inicial 5

5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

Foram 5 passos para convergir para 1.

Exemplo: número inicial 6

6 -> 3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

Foram 8 passos para convergir para 1.

Para números de 2 a 50, o resultado do número de passos mostra:

Informações interessantes: apesar de extremamente simples de ser formulada, essa conjectura até hoje não foi provada.

É contra intuitivo; parece que vai crescer, mas aí converge.

A sequência é errática: um número pode precisar de 100 passos, o…

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Consciência, Penrose e Computadores quânticos

Computação e Informação Quântica

Outro tópico extremamente interessante da entrevista de Scott Aaronson é em relação à Roger Penrose, que recentemente ganhou o prêmio Nobel de Física devido ao estudo de buracos negros.

Além de buracos negros, outra linha de pesquisa de Penrose diz respeito à consciência e inteligência.

O argumento de Penrose é mais ou menos simples. Um computador só consegue fazer cálculos “computáveis”, no sentido de Turing-Church.

Por exemplo, o computador atual não consegue abstrair, provar onde está a sua própria limitação computacional.

Já o ser humano é capaz disso, de chegar a conclusões incomputáveis. Os teoremas de Godel são um exemplo: mostram que qualquer sistema algébrico vai sempre conter contradições.

A provocação de Penrose, mas a conclusão é controversa: portanto, o cérebro tem algum componente quântico, diferente dos computadores comuns, que permita esse processamento superior. Este assunto tem sido alvo de debates calorosos.

É aí que entra o comentário de Aaronson…

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Prova visual da sequência 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1

A sequência 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 é conhecida faz tempo, e há uma prova visual bastante bonita.

Imagine que vamos somando retângulos, onde a área corresponde ao valor da sequência.

O primeiro tem área 1/2 (lados 1 x 1/2):

O segundo com área 1/4 (lados 1/2 e 1/2):

O terceiro com área 1/8 (lados 1/4 e 1/2):

(As cores mudam, porque o código que escrevi joga cores aleatórias)

E assim sucessivamente. Após 8 iterações:

Note um padrão: sempre sobra um retângulo, e esse retângulo sempre é preenchido com metade da área na iteração seguinte.

Após 20 iterações:

A soma da área vai tendendo a se aproximar de 1, sem nunca chegar.

Um exercício é fazer numa calculadora ou no Excel a soma 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + … até cansar, e verificar o resultado!

Para brincar iterativamente, neste link:

https://asgunzi.github.io/Soma-Serie-Meio/

Source code no…

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Qual a utilidade de uma inovação?

James Maxwell apresentou sua teoria do eletromagnetismo em 1864, predizendo que campos elétricos e magnéticos poderiam viajar pelo espaço numa onda eletromagnética.

Em 1882, a academia de ciências de Berlim propôs um prêmio, para quem conseguisse bolar um experimento que comprovasse as teorias de Maxwell.

Anos depois, Heinrich Hertz bolou um transmissor e receptor de ondas, provando ao mundo a existência das ondas eletromagnéticas.

Perguntaram qual a utilidade. Ele respondeu: “Não tem utilidade nenhuma. É apenas um experimento científico, uma curiosidade”.

O experimento sem utilidade de Hertz abriu caminho para a transmissão de ondas de rádio, as telecomunicações e todo o mundo moderno, nas décadas seguintes.

Uma inovação recém-nascida não tem utilidade imediata. É preciso tempo e cuidado para que esta mature e comece a gerar resultados, superando a geração atual.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2020/01/25/o-dilema-do-inovador/

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Como resolver o Square One – Parte 3

Dando continuidade a post anterior, https://ideiasesquecidas.com/2020/08/06/como-resolver-o-square-one-parte-1/, e https://ideiasesquecidas.com/2020/08/08/como-resolver-o-square-one-parte-2/ segue uma lista de algoritmos.

Um truque simples, para aquecer. É um movimento para trocar meio layer.

Agora com algoritmos que mexem na forma do cubo.
Note que há várias formas que o SquareOne pode assumir. O objetivo dos movimentos abaixo é fazer ele ficar no formato de cubo.

A forma mais simples, e chave para as demais, é o que chamei de Posição Chave.

Outra comum é a “forma de pata”, do vídeo abaixo.

O inverso da forma de pata:

Esta forma é mais complexa.
Chave e Quadrado:

Desfaz chave e quadrado:

Deve-se decorar as formas mais comuns mostradas acima.

A lógica é a seguinte: mexer o cubo até chegar em alguma forma reconhecível acima. Sabendo resolver as posições mostradas, facilita demais a vida.

Algoritmo de paridade

Este é para os casos em que ocorre uma “paridade impossível”, do tipo…

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Como resolver o Square One – Parte 2

Dando continuidade a post anterior, segue uma lista de algoritmos para ajudar a resolver o SquareOne.

A ideia é criar movimentos que mexam com o menor número possível de peças, a fim de conseguir criar um padrão compreensível. É a mesma lógica de “movimento invariante” de outros cubos: mexo, volto e vou anotando os efeitos.

Os movimentos básicos, no começo, serão compostos de forma a chegar a movimentos mais complexos no final desta seção.

Até agora, vamos mostrar apenas movimentos que não variem a forma do cubo. No próximo post, vamos mexer na forma.

Mov Base I

Vídeo no Youtube:

Mov Base II

Mov Troca Layers

Mov Translado

Esse movimento fica mais claro se isolar somente as peças que se movem:

Mov Translado -1

É a mesma coisa, mas ao contrário – aliás, todos os movimentos descritos aqui têm a versão inversa, e dominá-las pode ser muito útil.

Mov…

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