Sobre a Quadratura do Círculo


A quadratura do círculo é um problema grego antigo.

“Quadratura” vem de “quadrado”. A ideia aqui é que é muito fácil fazer a conta da área de um quadrado.

A quadratura de uma área qualquer (digamos, um trapézio, um octógono) equivale a calcular o número igual de quadrados a esta área.

Como calcular a área de um círculo, por quadrados?

Segue um exercício simples, só para ilustrar. Há métodos muito melhores que este para calcular a área do círculo, mas é didático.

Imagine um círculo, e um quadrado de lado unitário.

A primeira tentativa é a de colocar o círculo inscrito no grid retangular. É o limite superior.

O limite inferior é contar o grid inscrito no círculo.

Podemos fazer a mesma coisa, porém com um quadrado menor (1/4 da área).

Limite superior:

Limite inferior:

Para efeito de comparação, a área real é 28,27 mm2, pela tradicional fórmula pi*r^2.

Aumentando a resolução, dá mais trabalho contar, porém aumenta a precisão das estimativas.

Limite superior:

Limite inferior:

E assim sucessivamente, ad infinitum…


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Representação visual da sequência de Fibonacci

 

A sequência de Fibonacci há tempos fascina os matemáticos, por ter uma regra de formação simples, porém com diversas propriedades surpreendentes.

Esta sequência começa com 1 e 1. Os demais números são a soma dos dois anteriores. Portanto, os próximos números são:

2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
8 = 5 + 3
e assim sucessivamente.

Há uma forma bonita de visualizar esta sequência.
Iniciando com um quadrado de lado 1, coloque outro quadrado idêntico do seu lado.

Como o próximo número é a soma desses dois.

E assim sucessivamente.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc…

Com 10 quadrados:

Criei dois programinhas para plotar esta visualização.

Uma em Javascript D3, que é uma biblioteca fantástica para a parte gráfica. Vide projeto interativo no Github, aqui: https://asgunzi.github.io/Fibonacci/

E outra em Excel – VBA, disponível para download aqui. Print da tela:

O VBA é meio subestimado nos dias de hoje, porém é uma linguagem tão poderosa quanto todas as outras.

A essência de ambos os plots não é muito difícil. Em VBA, o comando para adicionar um retângulo é o seguinte.

ActiveSheet.Shapes.AddShape(msoShapeRectangle, x0, y0, lado, lado).Select

Basta informar a posição de início (x,y) e o tamanho do lado.

A seguir, colorir o interior e a borda.

With Selection
    .ShapeRange(1).Fill.ForeColor.RGB = Information.RGB(200 * Rnd, 200 * Rnd, 200 * Rnd)
    .ShapeRange(1).Line.ForeColor.RGB = Information.RGB(0, 0, 0)
    .ShapeRange(1).Line.Weight = 1
End With

A inspiração para tal projetinho foi a capa do livro Number Theory, de George Andrews.

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Números primos e compostos em álgebra de pedrinhas

Números compostos são aqueles divisíveis por outros números inteiros maiores do que 1.

Por exemplo, 6 pode ser decomposto de algumas formas, sem deixar resto:

Já o número 7 é primo. Não dá para dividi-lo. Nas figuras abaixo, sempre vão sobrar algumas bolinhas.

Pelas características acima, o “primo” de números primos refere-se a “primeiro”. São os números indivisíveis, os blocos fundamentais para a multiplicação dos números, e um grande esforço da Teoria dos Números é em cima de números primos.

Máximo Divisor Comum

Outro conceito muito importante é o de Máximo Divisor Comum entre dois números.

Em álgebra de bolinhas, um divisor comum entre dois números pode ser visualizado como a mesma base do retângulo que divide os números.

O máximo divisor comum é o tamanho máximo desta base.

Números primos entre si são aqueles que não têm divisor comum. Ou seja, o único jeito de colocá-los sobre a mesma base é quando a base é igual a 1.


Os números 4 e 9 são primos entre si.

Esta é uma forma de visualizar números primos e compostos em álgebra de pedrinhas.



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Álgebra de pedrinhas

“Cálculo” é uma palavra derivada do latim, e significa “pedra”. É por isso que “cálculo renal” significa pedra nos rins.

Para mim, a matemática deveria se basear o máximo possível nas suas noções mais básicas, pedrinhas e formas geométricas.

Este texto redefine as operações básicas da matemática em uma nova álgebra, a álgebra de pedrinhas.

Começa da noção de que cada número tem um equivalente em pedras.

E a soma é simplesmente a adição de pedrinhas:

A subtração é a diferença de pedras.

E no caso de números negativos? É como se fosse um empréstimo, uma pessoa devendo as pedrinhas para outras.

A multiplicação é uma soma de soma. 4 vezes 3 significa o número 4 somado três vezes seguidas. Isto forma um retângulo:

Há outra forma de visualizar a multiplicação, que vai ser muito útil em alguns exercícios futuros. Imaginar primeiro as 4 bolinhas, aumentar o raio das bolinhas, inserir 3 bolinhas em cada bola maior, e apagar a bola maior.

Finalmente, a divisão. A noção básica é que a divisão é o contrário da multiplicação. Digamos, 13 / 4 significa que 13 bolinhas devem ser colocadas em forma de retângulo, onde a base é de 4 bolinhas:

Note que sobra uma pedra. 13 /4 = 3, restando 1 pedra.

Em termos de fração, fica um pouco difícil visualizar pedaços das pedrinhas.

É claro que nem sempre será possível exprimir conceitos abstratos utilizando pedras e paus, entretanto, devemos nos esforçar para conseguir. É uma forma lúdica e a mais básica com que o ser humano raciocinava, em tempos antigos.

Nunca mais erre uma fórmula: análise dimensional, álgebra e ideogramas

Forgotten Lore

​Análise Dimensional

Um peso mexicano vale 0,17 real. Comprei 1.300 pesos. Quanto gastei em reais?

Há muito tempo atrás, eu me perguntava: a conta seria 1300*0,17 ou 1300/0,17?
A “análise dimensional” resolve facilmente esta dúvida.
Formula1.png
Peso corta com peso, sobrando real.
Se eu fizesse a conta oposta:

Formula2.jpg
O resultado é na unidade peso^2 / reais. Esta unidade não faz o menor sentido, então a fórmula está errada.
A análise dimensional consiste em fazer a conta algébrica com as unidades de medida, “cortando” e multiplicando as unidades.

Conheço esta técnica há tanto tempo que achei que todos a soubessem. Mas, descobri o oposto: a maioria das pessoas não conhece a análise dimensional. É uma técnica tão boa que não posso deixar de divulgá-la neste espaço.

Outro exemplo:

Tenho 20 m2 de área. Em um metro quadrado cabem em média 70 kg de uma material, digamos café. Cada quilo encolhe 10%, por…

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Um sujeito anormal procurando um número interessante

Forgotten Lore

Após tirar esta foto, do prédio escrito “normal”, o sujeito anormal da foto – eu – lembrou-se de um paradoxo “interessante”.

IMG_4316.JPG

Suponha que eu liste os números naturais em ordem:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Agora vamos dizer algum fato interessante sobre cada um dos números:

  • 1 É o primeiro número de todos, é divisor de todos os outros
  • 2 É o primeiro e único número primo par
  • 3 É o primeiro primo ímpar
  • 4 É o primeiro quadrado perfeito

Digamos que os números que têm alguma propriedade interessante sejam chamados de números “interessantes”.
E os números que não são interessantes sejam os números “normais”.

Utilizando esta definição, a lista ficaria assim:

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante

É uma lista que parece possível de fazer.

Agora, suponha que o número x seja o…

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Desafio do Penrose Institute

Forgotten Lore

Um desafiozinho de xadrez, criado pelo Penrose Institute.
É um puzzle relativamente simples de resolver, necessitando de um nível um pouco acima de básico de xadrez.
Entretanto, é muito interessante porque nem os melhores supercomputadores do mundo conseguem resolver.
Nota: Roger Penrose é um físico e matemático extremamente respeitado, tendo desenvolvido diversos trabalhos com o conhecido físico Stephen Hawking, um dos primeiros a propor a ideia de Buracos Negros.

O puzzle:

instituteoff.jpg Peças brancas jogam. Objetivo: brancas empatarem ou vencerem

Sabendo como são programados os computadores, sabe-se também como enganá-los.
Xadrez é um jogo em que o número de combinações facilmente explode para infinito. É difícil olhar 2 jogadas à frente, imagine 5, 10, 15 jogadas à frente! Mesmo o computador mais poderoso do mundo não consegue explorar todas as jogadas possíveis de maneira exaustiva, demoraria milhares de anos para tal…

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